Микола Кулєшов народився 17 грудня 1890 р. в м. Новий Маргелан (нині – Фергана, Республіка Узбекистан), у сім’ї київського лікаря, засланого в Середню Азію за революційну діяльність. У 1892 р., після смерті батька, мати з сином повернулася до Києва.
У 1901–1909 рр. навчався в П’ятій Київській гімназії, у 1909–1913 рр. – в Київському політехнічному інституті. Від 1915 р. очолював лабораторію фізіології рослин Харківської селекційно-дослідної станції. У 1920–1926 рр. був директором Центральної контрольно-насіннєвої станції Наркомзему УСРР.
У березні 1933 р. заарештований органами НКВС. Після звільнення в листопаді 1933 р. висланий до Іркутська. Згодом призначений керівником наукової групи контрольно-насіннєвої лабораторії, з жовтня 1934 р. очолював кафедру рослинництва Іркутського сільськогосподарського інституту. В 1938 р. вдруге заарештований. Після звільнення в 1939 р. з Іркутської в’язниці вчений переїхав до Омська, де по травень 1945 р. керував кафедрою рослинництва Омського сільськогосподарського інституту.
В 1945 р. повернувся до Харкова. У 1948 р. його було обрано членом-кореспондентом АН УРСР, а в 1951 р. – дійсним її членом. У червні 1955 р. за видатні заслуги в розвитку науки було присвоєно Почесне звання заслуженого діяча науки Української РСР.
Микола Кулєшов є одним з основоположників контрольно-насіннєвої справи. Вивчав питання систематики, екології, біології, агротехніки культурних рослин, зокрема кукурудзи й пшениці.
